三垂线定理

理解斜线、射影和平面内直线之间的垂直关系，并用三垂线定理及其逆定理解决空间问题。

约 12 分钟上海增补立体几何初步

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01 · 出发点

连接斜线、射影与平面内垂线

从平面外一点向平面引垂线，再连接平面内一点得到斜线。斜线在平面内的正射影把空间中的垂直问题转化为平面内的垂直问题。

三垂线定理及其逆定理给出：平面内直线垂直于斜线的射影，与它垂直于斜线之间可以相互推出。

02 · 概念

设 $PO\perp\alpha$ ， $A\in\alpha$ 且 $A\ne O$ ，则 $OA$ 是斜线 $PA$ 在平面内的射影。若平面内直线 $l$ 经过 $A$ 且 $l\perp OA$ ，则 $l\perp PA$ 。

逆定理表明，在同样构型下，若平面内过 $A$ 的直线 $l$ 满足 $l\perp PA$ ，则 $l\perp OA$ 。两者都依赖 $PO\perp\alpha$ 所提供的 $l\perp PO$ 。

03 · 方法

04 · 例题

$PO\perp(ABC)$ ， $O$ 在平面内， $A$ 在平面内且 $A\ne O$ 。若平面内直线 $AB\perp AO$ ，证明 $AB\perp AP$ 。

解

1
因为 $PO\perp(ABC)$ ，所以 $PO\perp AB$ 。
2
题设给出 $AB\perp AO$ ，而 $PO\cap AO=O$ ，且二者都位于平面 $(AOP)$ 内。
3
$AB$ 同时垂直平面 $(AOP)$ 内两条相交直线 $PO$ 、 $AO$ ，因此 $AB\perp(AOP)$ ，进而 $AB\perp AP$ ；这也正是三垂线定理。

05 · 辨析

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