正弦定理

建立三角形边与其对角正弦的比例关系。

约 12 分钟三角恒等变换与解三角形

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01 · 出发点

边长与对角正弦的统一比例

在任意三角形中，一条边越长，它所对的角通常越大。正弦定理把三组边角关系精确地写成同一个比例。

已知两角一边或两边及其中一边的对角时，正弦定理通常是解三角形的直接工具，但后一类条件可能出现两解。

02 · 概念

在三角形 $ABC$ 中，边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别对角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，有 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ ，其中 $R$ 为外接圆半径。

公式既可写成比例求边，也可写成 $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}$ 比较边角。由正弦值求角时， $A$ 与 $\pi-A$ 正弦相同，需结合内角和与边角大小判断。

03 · 方法

04 · 例题

三角形 $ABC$ 中， $A=30^\circ$ ， $B=45^\circ$ ， $a=2$ ，求 $b$ 与 $C$ 。

解

1
由内角和， $C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ$ 。
2
由正弦定理 $\dfrac{b}{\sin45^\circ}=\dfrac{a}{\sin30^\circ}=\dfrac{2}{\frac12}=4$ 。
3
因此 $b=4\sin45^\circ=2\sqrt2$ ；且 $b>a$ ，与 $B>A$ 一致。

05 · 辨析

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