对数与对数运算

01 · 出发点

对数回答底数要乘方多少次

若 2 的三次方等于 8，那么以 2 为底 8 的对数就是 3。对数把指数关系中的指数单独取出，是指数运算的逆运算。

乘法在对数中转为加法，除法转为减法，幂转为系数。这些法则来自同底数幂运算，同时要求每个对数的真数为正。

02 · 概念

对数定义与运算法则

当 $a>0$、$a\ne1$、$N>0$ 时，若 $a^b=N$，就定义 $\log_aN=b$。由定义可得 $\log_a1=0$、$\log_aa=1$，并有 $a^{\log_aN}=N$。

对 $M>0$、$N>0$，有 $\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$，$\log_a\left(\frac MN\right)=\log_aM-\log_aN$；对适当实数 $r$，有 $\log_a(M^r)=r\log_aM$。

03 · 方法

计算与化简对数式

1. 01

   检查底数满足 $a>0$、$a\ne1$，所有真数均为正。

2. 02

   把已知数写成底数的幂，或用积、商、幂的对数法则合并与拆分。

3. 03

   将结果转回指数式核验，避免在和差结构上误用法则。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界