8.8 向量的应用 | 笛卡尔数学

01 · 出发点

统一处理几何与物理问题

向量既有几何意义，又能坐标化计算，因此可以在不依赖复杂辅助线的情况下证明平行、垂直和共点关系。

在物理问题中，速度、力和位移天然就是向量；合成、分解与数量积分别对应实际效应的叠加和做功。

02 · 概念

几何应用通常选择合适的基点和基底，把各点对应的位置向量表示出来，再用共线、数量积等条件完成证明或计算。

物理应用需先统一单位、规定正方向，再按照向量加法合成；功可由 $W=\boldsymbol F\cdot\boldsymbol s$ 计算，结果是标量。

03 · 方法

04 · 例题

三角形 $ABC$ 中， $M$ 、 $N$ 分别为 $AB$ 、 $AC$ 的中点。用向量证明 $MN\parallel BC$ 且 $|MN|=\dfrac12|BC|$ 。

解

1
以 $A$ 为基点，有 $\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AN}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ 。
2
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac12(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$ 。
3
由 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ ，得 $\overrightarrow{MN}=\dfrac12\overrightarrow{BC}$ ，因此两者同向且模的比为 $1:2$ 。

05 · 辨析

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