两角和与差的三角公式

掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式。

约 12 分钟三角恒等变换与解三角形

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01 · 出发点

把两个角的函数值连接起来

知道 $\alpha$ 、 $\beta$ 的三角函数值后，和差公式允许计算 $\alpha\pm\beta$ 的三角函数值，无需先求出角本身。

余弦差公式配合诱导关系可推出余弦和、正弦和差公式，再由正弦除以余弦得到正切和差公式。

02 · 概念

正弦公式具有“正余、余正”的交叉结构： $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ ；余弦公式则是“余余、正正”，且内部符号相反。

当相关余弦不为零时， $\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ 。使用正切公式必须关注各正切是否有定义以及分母是否为零。

03 · 方法

04 · 例题

$\alpha$ 、 $\beta$ 均为锐角， $\sin\alpha=\dfrac35$ ， $\cos\beta=\dfrac{12}{13}$ ，求 $\sin(\alpha+\beta)$ 。

解

1
$\alpha$ 为锐角，所以 $\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac9{25}}=\dfrac45$ 。
2
$\beta$ 为锐角，所以 $\sin\beta=\sqrt{1-\dfrac{144}{169}}=\dfrac5{13}$ 。
3
代入和角公式： $\sin(\alpha+\beta)=\dfrac35\cdot\dfrac{12}{13}+\dfrac45\cdot\dfrac5{13}=\dfrac{56}{65}$ 。

05 · 辨析

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