等差数列前若干项和

01 · 出发点

把首尾项配成相同的和

逐项相加当然能求短数列的和，但项数很大时需要利用结构。等差数列首尾配对后，每一对的和都相等，这正是倒序相加法的出发点。

前 $n$ 项和 $S_n$ 不只是一个结果序列，它还保留原数列的信息：相邻两个前缀和之差就是新增的第 $n$ 项。

02 · 概念

前若干项和公式与项和关系

将 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ 与倒序式 $S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1$ 相加，每列都是 $a_1+a_n$，从而 $2S_n=n(a_1+a_n)$。

代入 $a_n=a_1+(n-1)d$，得到 $S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}2d$。反过来，对 $n\ge2$ 有 $a_n=S_n-S_{n-1}$，而 $a_1=S_1$。

03 · 方法

选择合适的等差求和公式

1. 01

   识别已知量：已知首项、末项和项数时用首尾形式，已知首项、公差和项数时用公差形式。

2. 02

   处理项数：若求从第 $m$ 项到第 $n$ 项的和，写成 $S_n-S_{m-1}$，避免漏项。

3. 03

   检查数量级：等差数列通项为一次式时，前 $n$ 项和通常为关于 $n$ 的二次式。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界