空间距离的计算

01 · 出发点

最短距离对应哪一个垂直方向

空间距离问题的共同本质是寻找最短线段。点到平面的最短线段沿法向，点到直线的最短线段垂直于直线，平行对象之间的距离可转化为任一点到另一对象的距离。

向量投影把“最短”转化为分解：沿法向或公垂线方向的分量给出距离，留在直线或平面方向内的分量不贡献垂直距离。

02 · 概念

点线、点面与平行对象距离

点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为 $\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。它是位移在单位法向量方向上投影长度的绝对值。

点 $P$ 到过 $A$、方向向量为 $\boldsymbol s$ 的直线距离，可将 $\overrightarrow{AP}$ 分解并计算 $|\overrightarrow{AP}-\operatorname{proj}_{\boldsymbol s}\overrightarrow{AP}|$。平行直线、平行平面之间的距离可任选一点化为点到直线或点到平面的距离。

03 · 方法

用投影和法向量计算距离

1. 01

   判断距离类型，选定一个方便的点、方向向量或平面法向量，并写出所需位移。

2. 02

   使用投影分解或点到平面公式计算垂直分量的长度，保留绝对值和非零条件。

3. 03

   必要时求垂足并代回对象方程，检查连接向量确实垂直且距离非负。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界