对数函数

01 · 出发点

指数函数的反向对应形成对数函数

指数函数 $y=a^x$ 把指数映射为正数；交换输入输出后，就得到 $y=\log_a x$。两者互为反函数，图象关于直线 $y=x$ 对称。

由于指数函数的值始终为正，对数函数只能接收正数输入。底数同样决定单调方向，并可用于解对数方程和不等式。

02 · 概念

对数函数的图象与单调性

$y=\log_a x$（$a>0$，$a\ne1$）的定义域为 $(0,+\infty)$，值域为 $\mathbb R$，图象经过 $(1,0)$。当 $x$ 从正侧趋近 0 时，图象靠近直线 $x=0$。

当 $a>1$ 时函数严格递增；当 $0<a<1$ 时函数严格递减。比较两个同底对数前，必须先保证各真数为正。

03 · 方法

解对数方程或不等式

1. 01

   先列出所有真数大于 0 的定义域条件。

2. 02

   把两边化为同底对数，依据底数范围使用递增或递减性质比较真数。

3. 03

   解代数不等式并与定义域取交集，再代入边界检查。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界