笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

15.2

导数的概念

理解导数定义及其几何意义和物理意义。

约 12 分钟导数及其应用
本文章目录

01 · 出发点

把无限缩短的平均变化率变成数

瞬时速度、边际成本和曲线切线斜率虽然来自不同情境，却共享同一个差商极限。导数就是对这一局部变化率的统一刻画。

函数在某点有导数，意味着从左右两侧靠近该点时，差商趋向同一个有限值。导数存在是一项局部性质，不等同于函数在整个定义域都有导数。

02 · 概念

差商极限与可导性

若极限 lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h 存在，则称 ff 在 x0x_0 处可导，该极限记为 f′(x0)f'(x_0)。它表示函数在 x0x_0 处相对于 xx 的瞬时变化率。

若函数在区间内每一点可导，就可把 xx 对应到 f′(x)f'(x)，得到导函数 f′(x)f'(x)。点导数是一个数，导函数是一个新的函数，二者的角色不能混淆。

03 · 方法

按定义求一点处导数

  1. 01

    按定义写差商，完整代入 f(x0+h)f(x_0+h) 与 f(x0)f(x_0)，并标明 h≠0h\ne0。

  2. 02

    通过因式分解、通分或有理化消去造成 00\dfrac00 的公共因子。

  3. 03

    计算 h→0h\to0 的极限；必要时分别考察左右极限，最后说明导数值及其意义。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1用定义求点导数

用导数定义求 f(x)=x2f(x)=x^2 在 x=3x=3 处的导数。

解

  1. 1

    写差商：f(3+h)−f(3)h=(3+h)2−9h\dfrac{f(3+h)-f(3)}h=\dfrac{(3+h)^2-9}h。

  2. 2

    展开并约去 hh：6h+h2h=6+h\dfrac{6h+h^2}h=6+h，其中 h≠0h\ne0。

  3. 3

    令 h→0h\to0，6+h→66+h\to6，所以 f′(3)=6f'(3)=6。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 导数是差商在自变量增量趋于零时的极限。
  • 点导数是数，导函数则描述各点导数组成的新函数。
  • 可导要求左右差商趋于同一个有限值。