同角三角函数关系

从单位圆推导同角三角函数的基本关系。

约 12 分钟三角函数

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01 · 出发点

同一角的三角函数值并非彼此独立

单位圆交点满足 $x^2+y^2=1$ ，把 $x,y$ 分别换成 $\cos\alpha$ 、 $\sin\alpha$ ，就得到最基本的平方关系。正切定义则给出三者之间的商关系。

这些恒等式可以在已知一个三角函数值和象限时求出其他函数值。开平方产生的正负号必须由角所在象限决定。

02 · 概念

对任意 $\alpha$ ，都有 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ 。这里 $\sin^2\alpha$ 表示 $(\sin\alpha)^2$ ；由一个平方值求另一个时，会得到正负两个候选。

当 $\cos\alpha\ne0$ 时，有 $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ 。将平方关系同除以 $\cos^2\alpha$ 还可得 $1+\tan^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}$ 。

03 · 方法

04 · 例题

已知 $\tan\alpha=-\frac34$ ，且 $\alpha$ 是第二象限角，求 $\sin\alpha$ 和 $\cos\alpha$ 。

解

1
第二象限中 $\sin\alpha>0$ 、 $\cos\alpha<0$ ，与 $\tan\alpha<0$ 一致。
2
构造直角三角形比例：对边与邻边绝对值比为 3:4，斜边比例为 5。
3
按第二象限符号，得到 $\sin\alpha=\frac35$ 、 $\cos\alpha=-\frac45$ ，并核验二者之比为 $-\frac34$ 。

05 · 辨析

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