14.6

等比数列前若干项和

利用错位相减推导求和公式，并理解通项与前若干项和的关系。

约 12 分钟数列

本文章目录

01 · 出发点

有限倍增如何累积

等比数列逐项相加时，后一项是前一项的固定倍数。把整个和式乘以公比再与原式相减，大部分项会成对消去。

这一错位相减方法的关键是 $q\ne1$ 。公比为 $1$ 时所有项都等于首项，应单独直接求和。

02 · 概念

错位相减与前若干项和

设 $S_n=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}$ 。当 $q\ne1$ 时， $qS_n$ 与 $S_n$ 相减得到 $(1-q)S_n=a_1(1-q^n)$ 。

因此 $S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ ，也可写成 $\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ 。当 $q=1$ 时， $S_n=na_1$ 。分式形式的分子、分母符号必须同步。

03 · 方法

分类公比并完成求和

01
确定首项、公比和项数，特别用末项指数核对项数： $a_1q^{n-1}$ 对应第 $n$ 项。
02
判断 $q$ 是否为 $1$ ； $q\ne1$ 时选用符号一致的一组分式形式， $q=1$ 时直接乘项数。
03
用估算或逐项短算检验：正项和应大于其中任一项，交替项则注意正负抵消。

04 · 例题

把方法落到具体问题

计算 $1+2+2^2+\cdots+2^9$ 。

解

1
首项为 $1$ ，公比 $q=2$ ；指数从 $0$ 到 $9$ ，共有 $10$ 项。
2
因为 $q\ne1$ ，代入 $S_{10}=\dfrac{1-2^{10}}{1-2}$ 。
3
计算 $2^{10}=1024$ ，因此 $S_{10}=\dfrac{-1023}{-1}=1023$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

错位相减利用相邻项的固定倍数关系消去中间项。
公比 $q=1$ 必须单独处理， $q\ne1$ 时才使用分式公式。
指数范围、项数和末项之间的对应是求和前的首要检查点。