笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

18.7

空间角的计算

用向量数量积计算线线角、线面角和二面角。

约 12 分钟空间向量与立体几何
本文章目录

01 · 出发点

把空间角转化为向量夹角

异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角都可以用向量夹角统一计算。不同角型对应不同向量：线用方向向量，面用法向量。

向量夹角的取值与几何角的约定并不总相同。线线角通常取锐角或直角，因此数量积取绝对值；二面角还需结合图形判断取法向量夹角还是其补角。

02 · 概念

线线角、线面角与二面角

方向向量 s1,s2\boldsymbol s_1,\boldsymbol s_2 给出线线角 θ\theta，cos⁡θ=∣s1⋅s2∣∣s1∣∣s2∣\cos\theta=\dfrac{|\boldsymbol s_1\cdot\boldsymbol s_2|}{|\boldsymbol s_1||\boldsymbol s_2|}。直线方向 s\boldsymbol s 与平面法向 n\boldsymbol n 的夹角和线面角互余，因此 sin⁡θ=∣s⋅n∣∣s∣∣n∣\sin\theta=\dfrac{|\boldsymbol s\cdot\boldsymbol n|}{|\boldsymbol s||\boldsymbol n|}。

两个平面的夹角可由法向量 n1,n2\boldsymbol n_1,\boldsymbol n_2 的夹角求得。若题目要求带方向或指定内部的二面角，需要选取半平面内向量或通过测试点判断最终角是 φ\varphi 还是 π−φ\pi-\varphi。

03 · 方法

选向量、算内积并取正确角

  1. 01

    识别角型，分别选取非零方向向量或法向量，并统一坐标系。

  2. 02

    计算数量积和两个向量的模，按线线、线面或面面对应公式求三角函数值。

  3. 03

    根据几何角取值范围、绝对值和图形朝向确定最终角，并检查平行、垂直极端情形。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1计算直线与平面所成角

直线 ll 的方向向量 s=(1,1,0)\boldsymbol s=(1,1,0)，平面 α\alpha 的法向量 n=(1,1,1)\boldsymbol n=(1,1,1)，求 ll 与 α\alpha 所成角 θ\theta。

解

  1. 1

    计算 s⋅n=2\boldsymbol s\cdot\boldsymbol n=2，∣s∣=2|\boldsymbol s|=\sqrt2，∣n∣=3|\boldsymbol n|=\sqrt3。

  2. 2

    线面角满足 sin⁡θ=∣s⋅n∣∣s∣∣n∣=26=63\sin\theta=\dfrac{|\boldsymbol s\cdot\boldsymbol n|}{|\boldsymbol s||\boldsymbol n|}=\dfrac2{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}3。

  3. 3

    因 0≤θ≤π20\le\theta\le\dfrac\pi2，所以 θ=arcsin⁡63\theta=\arcsin\dfrac{\sqrt6}3；该值约为 54.7∘54.7^\circ，符合既不平行也不垂直的判断。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 线线角由两个方向向量计算，线面角由方向向量与法向量计算。
  • 线面角公式使用正弦，反映它与方向—法向夹角互余。
  • 二面角计算后需结合半平面方向判断取夹角还是补角。