简单复合函数的导数

01 · 出发点

先识别外函数与线性内层

函数 $(2x-1)^4$ 不是单纯的 $x$ 的四次幂，而是先由 $x$ 得到 $2x-1$，再取四次幂。这样的“函数套函数”构成复合函数。

复合函数求导要沿运算顺序逐层传递变化率：外层函数对中间变量的变化率，乘以内层函数对 $x$ 的变化率。

02 · 概念

线性内层的求导规则

若 $y=f(u)$，$u=g(x)$，则 $y$ 对 $x$ 的导数为 $f'(g(x))g'(x)$，即先求外层导数并保留内层，再乘内层导数。

对简单结构 $f(ax+b)$，其导数为 $af'(ax+b)$。系数 $a$ 来自内层 $ax+b$ 的导数；平移常数 $b$ 的导数为 $0$，但仍保留在外层函数的自变量中。

03 · 方法

分层求导并保留内层系数

1. 01

   从外向内辨认层次，令 $u=g(x)$，把原式暂时写成 $y=f(u)$。

2. 02

   求 $\dfrac{dy}{du}$ 与 $\dfrac{du}{dx}$，再相乘得到 $\dfrac{dy}{dx}$，并把 $u$ 换回 $g(x)$。

3. 03

   化简后用一个具体点或先展开再求导的方式交叉核验。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界