8.1 向量的概念与表示

01 · 出发点

既有大小又有方向的量

位移、速度和力只给出数值还不完整：向东走 5 米与向西走 5 米的结果不同。数学把同时具有大小和方向的量称为向量。

向量通常用有向线段表示，箭头指出方向，线段长度表示大小。研究向量时只比较大小和方向，不关心有向线段画在平面的什么位置。

02 · 概念

以 $A$ 为起点、 $B$ 为终点的向量记作 $\overrightarrow{AB}$ ，其模记作 $|\overrightarrow{AB}|$ 。大小相等且方向相同的向量相等；方向相同或相反的非零向量称为共线向量。

模为 $0$ 的向量是零向量，方向任意约定；模为 $1$ 的向量是单位向量。与向量 $\boldsymbol a$ 大小相等、方向相反的向量记作 $-\boldsymbol a$ 。

03 · 方法

04 · 例题

平行四边形 $ABCD$ 中，指出与向量 $\overrightarrow{AB}$ 相等及相反的向量，并设边长 $AB=3$ ，求它们的模。

解

1
平行四边形对边平行且相等， $AB$ 与 $DC$ 方向相同，所以 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ 。
2
向量 $\overrightarrow{BA}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 都与 $\overrightarrow{AB}$ 等长且方向相反，因此它们均为 $-\overrightarrow{AB}$ 。
3
向量的模等于对应线段长度，故 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{CD}|=3$ 。

05 · 辨析

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