复数根

01 · 出发点

在复数范围内寻找方程的全部根

数系扩充到复数后，实系数二次方程即使判别式小于 $0$ 也有两个复数根。方程求根仍遵循代数变形，只是允许出现 $i$。

实系数多项式的非实根成共轭对出现。这一性质既能帮助求根，也能检查所得根是否完整。

02 · 概念

二次方程复根与共轭关系

对实系数二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若判别式 $\Delta<0$，则根为 $\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$。求根公式在复数范围内保持统一。

若实系数多项式 $P(z)$ 以 $a+bi$ 为根，则 $P$ 的共轭关系保证 $a-bi$ 也是根。根的和与积仍满足韦达定理。

03 · 方法

求解并核验复数根

1. 01

   将方程整理为标准形式，计算判别式；负判别式写成 $i$ 与正实数平方根的乘积。

2. 02

   使用求根公式或配方法得到全部根，并化简为标准复数形式。

3. 03

   通过代回原方程、共轭成对以及韦达定理核验根的数量和数值。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界