圆的方程

01 · 出发点

定点定距如何写成方程

圆是到定点距离等于定长的点的集合。把圆心坐标和半径代入距离公式，就能直接建立圆的标准方程。

展开标准方程得到一般方程，配方又能从一般方程读回圆心和半径。两种形式侧重点不同：标准式适合几何读取，一般式适合与其他方程联立。

02 · 概念

圆心、半径与一般式

圆心 $C(a,b)$、半径 $r>0$ 的圆满足 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 表示实圆的条件是 $D^2+E^2-4F>0$。

一般式配方后圆心为 $(-\dfrac D2,-\dfrac E2)$，半径为 $\dfrac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}2$。若判别量等于 $0$ 只得到一个点，小于 $0$ 时没有实点，均不是通常意义的圆。

03 · 方法

配方识别圆并检验半径

1. 01

   已知圆心和半径时直接写标准式；已知一般式时分别对 $x,y$ 的二次与一次项配方。

2. 02

   从配方结果读取圆心时注意括号内符号相反，并要求右侧半径平方为正。

3. 03

   将圆心代入左侧应得到最小值，选取一个明显的圆上点检验距离是否等于半径。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界