直线与圆的位置关系

用几何距离或方程根的情况判断相交、相切与相离。

约 12 分钟直线与圆

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01 · 出发点

交点个数由一段最短距离决定

一条直线可能穿过圆、刚好接触圆或完全避开圆，分别对应相交、相切和相离。几何上只需比较圆心到直线的距离与半径。

代数上联立直线与圆的方程会得到一元二次方程，交点个数由判别式决定。距离法更简洁，方程法还能进一步求出交点坐标和弦长。

02 · 概念

设圆心到直线的距离为 $d$ 、半径为 $r$ 。 $d<r$ 时有两个交点， $d=r$ 时有一个切点， $d>r$ 时没有公共点。

若直线截圆所得弦长为 $L$ ，则圆心到弦所在直线的垂线平分弦，由直角三角形得 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$ ，前提是 $d\le r$ 。

03 · 方法

04 · 例题

判断直线 $3x+4y-25=0$ 与圆 $x^2+y^2=25$ 的位置关系，并求公共点。

解

1
圆心 $O(0,0)$ ，半径 $r=5$ 。圆心到直线距离 $d=\dfrac{|-25|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{25}{5}=5$ 。
2
因为 $d=r$ ，直线与圆相切，圆心到直线的垂足即唯一切点。
3
点 $T(3,4)$ 满足 $3\times3+4\times4-25=0$ 且 $3^2+4^2=25$ ，因此切点为 $(3,4)$ 。

05 · 辨析

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