伯努利试验与二项分布

01 · 出发点

把同一种成败试验独立重复

一次试验只有成功和失败两种结果，成功概率为 $p$。若在相同条件下独立重复 $n$ 次，并记录成功次数 $X$，就得到 $n$ 重伯努利试验。

要使 $X$ 服从二项分布，必须同时满足次数固定、每次只有两类结果、成功概率不变、各次相互独立。缺少任一条件都不能直接套用二项分布。

02 · 概念

二项分布的概率、均值与方差

恰有 $k$ 次成功，需要从 $n$ 次试验中选出 $k$ 个成功位置，共有 $C_n^k$ 种；每条具体路径的概率为 $p^k(1-p)^{n-k}$。

若 $X\sim B(n,p)$，则 $E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。均值表示长期平均成功次数，方差在 $p$ 接近 $\frac12$ 时较大。

03 · 方法

识别并计算二项分布

1. 01

   逐项检查固定次数、两类结果、概率不变和相互独立四个条件。

2. 02

   明确 $X$ 记录成功次数，并把“至少”“至多”翻译为 $k$ 的取值范围。

3. 03

   单个 $k$ 用概率质量函数，多个 $k$ 求和；必要时用补事件简化。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界