二项式定理

01 · 出发点

二项式幂的每一项来自怎样的选择

展开 $(a+b)^n$ 时，要从 $n$ 个相同的括号中各选一个因子相乘。某一项含 $b^k$，意味着恰有 $k$ 个括号选择了 $b$，其余 $n-k$ 个括号选择 $a$。

选择哪 $k$ 个括号提供 $b$ 的方法数是 $C_n^k$，因此组合数自然成为展开式的系数。二项式定理把逐项相乘的过程压缩成统一公式。

02 · 概念

二项式定理与通项

当 $n$ 为非负整数时，$(a+b)^n$ 的展开式共有 $n+1$ 项，按 $b$ 的指数从 0 到 $n$ 排列。第 $k+1$ 项为 $C_n^k a^{n-k}b^k$，其中 $k$ 从 0 取到 $n$。

处理 $(a-b)^n$、$(px+q)^n$ 等表达式时，应把第二项连同符号视为完整的 $b$。通项中的指数、系数和符号必须同时代入。

03 · 方法

用通项锁定指定项

1. 01

   把二项式准确识别为 $a+b$，负号和常数因子都包含在相应项内。

2. 02

   写出通项，并合并变量指数与常数系数。

3. 03

   根据目标项的变量指数建立关于 $k$ 的方程，再检验 $k$ 是否为 0 到 $n$ 的整数。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界