三角不等式

01 · 出发点

直达距离不会超过绕行距离

数轴上从 0 走到 $a+b$ 的直达距离，不会超过先走到 $a$ 再移动 $b$ 所经过的总路程。这一直观对应绝对值的三角不等式。

三角不等式不仅给出上界，还能通过移项得到反向三角不等式，从而估计和、差与参数式的范围。取等条件反映两个位移方向是否一致。

02 · 概念

三角不等式及其反向形式

对任意实数 $a,b$，有 $|a+b|\leq|a|+|b|$。当 $ab\geq0$，即 $a,b$ 同号或至少一个为零时取等；它也可推广到有限个实数之和。

由 $|a|=|(a-b)+b|\leq|a-b|+|b|$ 得 $|a|-|b|\leq|a-b|$；交换 $a,b$ 又得 $|b|-|a|\leq|a-b|$。合并两式便有 $\bigl||a|-|b|\bigr|\leq|a-b|$。

03 · 方法

用距离或拆项估计绝对值

1. 01

   识别目标绝对值能否写成两个量之和或之差，并选择普通或反向三角不等式。

2. 02

   若含变量，可把绝对值解释为数轴距离，利用两定点之间的距离确定下界。

3. 03

   求最值时解出取等条件，并确认该条件在变量范围内能够达到。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界