笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

9.1

两角差的余弦公式

从向量数量积推导两角差的余弦公式。

约 12 分钟三角恒等变换与解三角形
本文章目录

01 · 出发点

从向量夹角得到角差公式

两条单位向量分别与 xx 轴正方向成 α\alpha、β\beta 角，它们的夹角与 α−β\alpha-\beta 有关。用数量积的两种算法比较，就能得到两角差的余弦公式。

这条公式是和差公式体系的起点，也说明三角恒等式并非孤立记忆，而可由单位圆和向量运算推导。

02 · 概念

两角差的余弦公式

取 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol a=(\cos\alpha,\sin\alpha)、b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol b=(\cos\beta,\sin\beta)，由坐标公式 a⋅b=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta。

两单位向量夹角的余弦为 cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta)，比较两式即得公式。公式对任意实数 α\alpha、β\beta 成立。

03 · 方法

使用角差余弦公式

  1. 01

    把目标角拆成两个特殊角之差，优先选择三角函数值已知的角。

  2. 02

    严格按 cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta 展开并保留各角所在象限的符号。

  3. 03

    也可反向识别形如 cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta 的式子，将其合并为 cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta)。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1精确计算 15 度的余弦

不用计算器求 cos⁡15∘\cos15^\circ 的精确值。

解

  1. 1

    把 15∘15^\circ 写成 45∘−30∘45^\circ-30^\circ。

  2. 2

    套用角差公式：cos⁡15∘=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘\cos15^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ。

  3. 3

    代入特殊角值，得 22⋅32+22⋅12=6+24\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 角差余弦公式可由单位向量数量积推导。
  • 公式既能展开角差，也能反向合并式子。
  • 结果应结合角所在象限检查符号和大小。