椭圆的定义与方程

01 · 出发点

距离之和固定会形成什么曲线

把细绳两端固定在两个点并保持绳子绷紧，铅笔移动时到两个固定点的距离之和保持不变，画出的封闭曲线就是椭圆。

两个定点称为焦点。距离和必须大于两焦点距离，轨迹才是非退化椭圆；等于焦距时轨迹退化为两焦点之间的线段。

02 · 概念

焦点定义与标准方程

平面内到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之和等于常数 $2a$，且 $2a>|F_1F_2|=2c$ 的点的轨迹是椭圆。令 $b^2=a^2-c^2$，可得到标准方程。

焦点在 $x$ 轴时方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$；焦点在 $y$ 轴时两个分母交换。无论方向如何，$a>b>0$，较大分母所在轴是长轴和焦点轴。

03 · 方法

由焦点和常数确定椭圆

1. 01

   从焦点位置确定焦点轴，令距离和为 $2a$、焦距为 $2c$。

2. 02

   计算 $a,c$，再由 $b^2=a^2-c^2$ 求另一半轴，并检查 $a>c>0$。

3. 03

   按焦点轴放置较大分母写标准方程，并代入顶点或利用距离和复核。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界