笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

7.5

诱导公式

利用单位圆对称性把任意角化到熟悉范围。

约 12 分钟三角函数
本文章目录

01 · 出发点

利用单位圆对称性把任意角化到熟悉角

任意角可能包含多圈旋转或落在不同象限，但单位圆上的平移一周、关于坐标轴对称和关于原点对称都具有简单坐标规律。诱导公式把这些规律转成三角函数关系。

化简时先处理整周，再识别角与参考锐角的关系，最后结合象限确定符号。这样比孤立记忆大量公式更可靠。

02 · 概念

周期、对称与符号

正弦、余弦以 2π2\pi 为周期，正切以 π\pi 为周期。加 π\pi 会把单位圆点变为关于原点的对称点，因此正弦、余弦变号，而正切不变。

角 −α-\alpha 对应关于 xx 轴对称，故 sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha、cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha；角 π−α\pi-\alpha 对应关于 yy 轴对称，故正弦不变、余弦变号。余角关系给出 sin⁡(π2±α)=cos⁡α\sin\left(\frac\pi2\pm\alpha\right)=\cos\alpha、cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos\left(\frac\pi2-\alpha\right)=\sin\alpha、cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos\left(\frac\pi2+\alpha\right)=-\sin\alpha；相应地，tan⁡(π2∓α)=±cos⁡αsin⁡α\tan\left(\frac\pi2\mp\alpha\right)=\pm\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}，使用时要求分母不为 0。

03 · 方法

化简任意角三角函数

  1. 01

    先减去 2π2\pi 的整数倍，把角化到一个基本周期内。

  2. 02

    写成 kπ±αk\pi\pm\alpha 或 π2±α\frac\pi2\pm\alpha 等形式，确定参考角和函数名是否变化。

  3. 03

    根据原角终边所在象限确定最终符号，并用特殊角值计算。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1化简第三象限特殊角

计算 sin⁡7π6\sin\frac{7\pi}{6}。

解

  1. 1

    写成 7π6=π+π6\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac\pi6，参考角为 π6\frac\pi6。

  2. 2

    加 π\pi 后单位圆点关于原点对称，所以 sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha。

  3. 3

    由 sin⁡π6=12\sin\frac\pi6=\frac12，得到 sin⁡7π6=−12\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12；第三象限正弦为负，符号吻合。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 诱导公式来自单位圆的周期与对称。
  • 先化周期、再找参考角、最后定符号。
  • 正切的最小正周期为 π\pi，正弦和余弦为 2π2\pi。