定义域与值域

从实际意义和表达式限制确定函数的输入与输出范围。

约 12 分钟函数的概念与性质

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01 · 出发点

先确定能输入什么，再判断能输出什么

函数式并不保证所有实数都能代入：分母不能为零，偶次根号下不能为负，对数真数必须为正。定义域规定模型允许接收的输入。

值域则回答函数实际能够产生哪些输出。求值域不仅要看表达式，还要结合定义域、图象和变量之间的约束。

02 · 概念

定义域是使函数关系有意义的所有输入组成的集合。实际问题中，还要叠加时间非负、长度为正、数量为整数等情境限制。

值域是当 $x$ 遍历定义域时所有 $f(x)$ 的集合。常用方法包括观察图象、配方、利用单调性、换元以及根据基本不等式估计，并必须检查边界能否取到。

03 · 方法

04 · 例题

求函数 $y=\sqrt{4-x^2}$ 的定义域和值域。

解

1
偶次根式要求 $4-x^2\geq0$ ，即 $x^2\leq4$ ，所以 $-2\leq x\leq2$ 。
2
由根号性质 $y\geq0$ ；又因 $4-x^2\leq4$ ，所以 $y\leq2$ 。
3
任取 $y\in[0,2]$ ，令 $x=\sqrt{4-y^2}$ ，则 $x\in[0,2]$ 且 $\sqrt{4-x^2}=y$ ，所以区间内每个 $y$ 都能取得。

05 · 辨析

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