二分法与程序框图

01 · 出发点

反复保留异号的一半区间

零点存在定理告诉我们根在某个区间，却不直接给出精确位置。二分法每次取区间中点，用函数值符号决定保留哪一半，从而稳定缩小根所在范围。

这一过程具有清楚的循环结构：输入区间、计算中点、判断停止条件、更新端点。它既适合手工近似，也便于用程序框图和代码实现。

02 · 概念

二分迭代与误差控制

设连续函数在 $[a,b]$ 端点异号。取中点 $m=\frac{a+b}{2}$；若 $f(m)=0$ 就结束，否则保留 $[a,m]$ 或 $[m,b]$ 中端点仍异号的一段。

迭代 $n$ 次后区间长度为初始长度的 $2^{-n}$。若用最终区间中点作近似根，绝对误差不超过该区间长度的一半。

03 · 方法

用流程化步骤实施二分法

1. 01

   选择函数连续且端点异号的初始区间 $[a,b]$，设定允许误差 $\varepsilon$。

2. 02

   循环计算中点 $m$ 和 $f(m)$；若输出中点作为近似根，当 $\frac{b-a}{2}\leq\varepsilon$ 时停止，否则按函数值符号更新 $a$ 或 $b$。

3. 03

   报告最终近似值、保留区间和误差界，使数值结果可以核验。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界