二阶列联表的独立性检验

01 · 出发点

样本中的差异是否足以反对独立假设

列联表中两组比例通常不会完全相同，即使总体变量独立，随机抽样也会产生波动。独立性检验判断观察到的偏离是否大到难以用随机波动解释。

检验先假设两个分类变量独立，据此用边际频数计算每格期望频数，再比较观察频数与期望频数的差异。

02 · 概念

卡方统计量与检验结论

在独立假设下，第 $i$ 行第 $j$ 列期望频数等于行合计与列合计的乘积除以总计。卡方统计量把各格 $\dfrac{(\text{观察}-\text{期望})^2}{\text{期望}}$ 相加，数值越大，偏离独立越明显。

$p$ 值表示独立假设成立时，出现当前或更极端差异的概率。$p$ 值小于预设显著性水平时拒绝独立假设；否则只能说证据不足，不能证明独立。

03 · 方法

独立性检验的完整表述

1. 01

   提出原假设“两个分类变量独立”，并选定显著性水平。

2. 02

   由边际合计计算期望频数，检查适用条件后求卡方统计量或 $p$ 值。

3. 03

   将 $p$ 值与显著性水平比较，用“有证据”或“证据不足”的语言作结论。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界