幂函数

01 · 出发点

指数决定幂函数的整体形态

形如 $y=x^\alpha$ 的函数称为幂函数。指数 $\alpha$ 改变后，定义域、过点、奇偶性和单调性都可能改变，因此不能把所有幂函数想成同一类曲线。

学习幂函数的重点不是穷举所有实指数，而是通过若干典型指数建立图象直观，并从指数和定义域解释性质。

02 · 概念

典型幂函数的图象与性质

当指数为正整数时，偶次幂在 $\mathbb R$ 上为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称；奇次幂为奇函数。负整数指数会使 $x=0$ 不在定义域，并形成接近坐标轴的分支。

在 $x>0$ 上，$\alpha>0$ 时 $x^\alpha$ 递增，$\alpha<0$ 时 $x^\alpha$ 递减。分数指数还要根据根式意义确定负数输入是否允许，实指数幂通常先在正数底数上定义。

03 · 方法

研究一个具体幂函数

1. 01

   根据指数类型确定实数范围内的定义域，并找出是否经过 $(0,0)$、$(1,1)$ 等特征点。

2. 02

   计算 $f(-x)$ 或限制在 $x>0$ 上比较函数值，判断奇偶性与单调性。

3. 03

   结合零点、无定义点和无穷远趋势描图，再用图象读取值域。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界