笛卡尔数学高中数学
几何画板
1.1数一数与一一对应小学数学 · 0—10 的认识1.20 的认识小学数学 · 0—10 的认识1.30—10 的读写小学数学 · 0—10 的认识1.4大小比较与排序小学数学 · 0—10 的认识1.5数的组成与分解小学数学 · 0—10 的认识2.1加法的意义小学数学 · 10 以内加减法2.210 以内加法小学数学 · 10 以内加减法

18.2

空间向量基本定理

用三个不共面的基底唯一表示空间中的任意向量。

约 12 分钟空间向量与立体几何
本文章目录

01 · 出发点

三个不共面的方向足以描述空间

平面内需要两个不共线方向描述任意向量，空间中则需要三个不共面的方向。它们构成空间的一组基底。

选定基底后，任意空间向量都能且只能写成三个基向量的线性组合。唯一性使几何对象可以稳定地对应到三维坐标。

02 · 概念

基底、唯一分解与坐标

若 e1,e2,e3\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3 不共面，则对任意空间向量 p\boldsymbol p，存在唯一实数组 x,y,zx,y,z，使 p=xe1+ye2+ze3\boldsymbol p=x\boldsymbol e_1+y\boldsymbol e_2+z\boldsymbol e_3。这就是空间向量基本定理。

不共面是关键条件：若三个向量共面，它们的线性组合仍留在该平面方向内，不能表示平面外向量；同时表示系数也可能不唯一。

03 · 方法

选基底并求分解系数

  1. 01

    先证明或确认候选的三个基向量不共面，例如它们来自空间坐标轴或四面体同一顶点的三条棱。

  2. 02

    把目标向量写成未知系数的线性组合，按坐标分量或几何路径建立方程组。

  3. 03

    解出三个系数并回代；利用表示唯一性比较两个向量等式中的对应系数。

04 · 例题

把方法落到具体问题

例 1求向量在一组基底下的坐标

已知 e1=(1,0,1), e2=(0,2,1), e3=(1,1,0)\boldsymbol e_1=(1,0,1),\ \boldsymbol e_2=(0,2,1),\ \boldsymbol e_3=(1,1,0) 不共面，用它们表示 p=(3,4,2)\boldsymbol p=(3,4,2)。

解

  1. 1

    设 p=xe1+ye2+ze3\boldsymbol p=x\boldsymbol e_1+y\boldsymbol e_2+z\boldsymbol e_3，比较三个分量得 x+z=3, 2y+z=4, x+y=2x+z=3,\ 2y+z=4,\ x+y=2。

  2. 2

    由前两式 x=3−z, y=4−z2x=3-z,\ y=\dfrac{4-z}2，代入 x+y=2x+y=2 得 5−3z2=25-\dfrac{3z}2=2，所以 z=2z=2。

  3. 3

    进而 x=1,y=1x=1,y=1；回代 e1+e2+2e3=(3,4,2)\boldsymbol e_1+\boldsymbol e_2+2\boldsymbol e_3=(3,4,2)，与 p\boldsymbol p 一致。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

  • 空间的一组基底由三个不共面向量组成。
  • 任意空间向量在给定基底下存在唯一的线性表示。
  • 比较基底系数可以把向量等式转化为实数方程组。