正态分布

01 · 出发点

用钟形曲线描述连续测量的集中与波动

身高、测量误差等连续变量常在某个中心附近出现得多，离中心越远出现得越少。平滑的钟形密度曲线可以刻画这种概率分布。

正态分布由均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 决定，其中 $\sigma>0$。均值控制曲线中心，标准差 $\sigma$ 控制曲线宽窄；总概率对应密度曲线下的总面积 $1$。

02 · 概念

正态曲线、参数与标准化

正态密度关于 $x=\mu$ 对称，在 $\mu$ 处达到最高。$\sigma$ 越小，数据越集中，曲线越高越窄；$\sigma$ 越大，数据越分散，曲线越低越宽。

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 且 $\sigma>0$，标准化变量 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。区间概率可转化为标准正态表或技术工具能够计算的形式。

03 · 方法

从原变量转到标准位置

1. 01

   识别均值 $\mu$、标准差 $\sigma$ 和所求区间，先判断位置相对均值的方向。

2. 02

   对区间端点使用 $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ 标准化，并利用对称性化简。

3. 03

   读取标准正态概率或使用给定的经验比例，并检查答案在 $0$ 到 $1$ 之间。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界