直线的方程

01 · 出发点

一个点加一个方向如何确定直线

直线的几何条件可以翻译成一次方程。已知一个点和方向、两个点或两个截距时，选择匹配的方程形式能减少未知量和变形步骤。

点斜式最基础，斜截式突出斜率和纵截距，两点式避免预先求截距，一般式 $Ax+By+C=0$ 则能统一表示包括竖直线在内的所有直线。

02 · 概念

四种直线方程及适用条件

过点 $(x_0,y_0)$、斜率为 $k$ 的直线为 $y-y_0=k(x-x_0)$；斜率存在时可写 $y=kx+b$。过两个横、纵坐标均不同的点可用两点式。

一般式 $Ax+By+C=0$ 要求 $A,B$ 不同时为 $0$。特殊形式都有适用条件：竖直线不能写点斜式，截距式 $\dfrac xa+\dfrac yb=1$ 要求两个非零截距存在。

03 · 方法

按已知条件选择方程形式

1. 01

   整理已知条件，优先选择无需额外计算且满足适用条件的方程形式。

2. 02

   代入点与斜率或两个点，保留括号完成代数整理，必要时化为一般式。

3. 03

   把全部已知点代回方程，并检查所得直线的斜率、截距或竖直特征。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界