指数函数

01 · 出发点

自变量位于指数位置时产生倍增或衰减

本金按固定比例增长、物质按固定半衰期衰减，都具有“每经过相同时间乘同一个倍数”的特征。指数函数用自变量作为指数来描述这种变化。

底数 $a$ 的大小决定增长方向：$a>1$ 时随 $x$ 增大而增长，$0<a<1$ 时随 $x$ 增大而衰减。两类图象都经过 $(0,1)$，函数值始终为正。

02 · 概念

指数函数的定义与性质

函数 $y=a^x$（$a>0$ 且 $a\ne1$）定义域为 $\mathbb R$，值域为 $(0,+\infty)$。图象经过 $(0,1)$，不与 $x$ 轴相交，并以 $y=0$ 为水平渐近趋势。

当 $a>1$ 时函数严格递增；当 $0<a<1$ 时函数严格递减。同底数指数式比较大小，可利用这一单调性把函数值关系转为指数关系。

03 · 方法

求解和比较指数式

1. 01

   尽量把等式或不等式两边化为同一正底数的幂。

2. 02

   根据底数大于 1 还是介于 0 与 1 之间，决定指数大小关系同向还是反向。

3. 03

   若来自实际模型，解释单位时间倍率，并检查时间、数量等变量范围。

04 · 例题

把方法落到具体问题

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界