抽屉原理初步

01 · 情境

总有一个抽屉装得更多

把 $5$ 本书放进 $4$ 个抽屉，即使尽量平均，也至少有一个抽屉放两本或更多。

当物品数多于类别数时，至少一个类别会重复，这是抽屉原理的直观形式。

02 · 模型

平均数的下界

把 $n$ 个物品放进 $m$ 个抽屉，至少有一个抽屉的物品数不小于平均分配后向上取整的结果。

03 · 动手

尝试最均匀地放

把不同数量的筹码分进若干盒子，记录最少能保证某盒有几个。

1. 01

   先让每个盒子得到相同数量。

2. 02

   把剩余筹码逐个放入盒子。

3. 03

   观察第一个‘必须重复’发生在何时。

04 · 方法

使用抽屉原理

1. 01

   明确哪些是物品，哪些是类别或抽屉。

2. 02

   计算平均分配及余数。

3. 03

   用‘假设都不超过某数’推导矛盾。

4. 04

   结论写成‘至少有一个……’。

05 · 例题

例题：同月生日

06 · 练习

练一练

1. 1

   把 $13$ 个球放进 $6$ 个盒子，至少一个盒子有几个球？

   查看参考思路

   提示：先每盒放两个，还余一个。

   参考：至少 3 个

2. 2

   任意 $8$ 个整数，按除以 $7$ 的余数分类，至少两个余数相同吗？

   查看参考思路

   提示：余数只有七类。

   参考：是