23.3

中心对称

理解两个图形关于一点中心对称时，对应点连线经过对称中心且被该点平分。

约 11 分钟旋转与中心对称

本文章目录

01 · 出发点

从“中心对称”中的对象与问题出发

研究图形绕点转动的变化规律，理解中心对称及多种变换的组合。

具体到“中心对称”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

中心对称的定义、条件与表示

把一个图形绕某点旋转 $180^\circ$ 后与另一个图形重合，两个图形关于该点成中心对称。对称中心是每一对对应点连线的中点。

理解两个图形关于一点中心对称时，对应点连线经过对称中心且被该点平分。

03 · 方法

围绕中心追踪对应点

01
标出旋转中心、方向和旋转角，逐一确定原点、对应点及其到中心的连线。
02
利用对应点到中心距离相等、对应线段相等和对应角相等完成作图或推理。
03
组合变换按发生顺序逐步写出中间像，并用距离、角度或坐标规律复核终点。

04 · 例题

把方法落到具体问题

点 $O$ 分别是线段 $AA'$ 和 $BB'$ 的中点。说明线段 $AB$ 与 $A'B'$ 的关系。

解

1
由中点条件，点 $A$ 绕 $O$ 旋转 $180^\circ$ 后到达 $A'$ 。
2
同理，点 $B$ 在同一次旋转中到达 $B'$ 。
3
旋转保持线段长度和平行方向，线段的像由端点的像确定。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

理解两个图形关于一点中心对称时，对应点连线经过对称中心且被该点平分。
已知一对不同的对应点时，它们连线的中点就是候选对称中心；还需用其他对应点验证同一个中点关系。
线段 $AB$ 与 $A'B'$ 平行且相等。