17.2
勾股定理的证明
通过拼图、面积或代数恒等式说明勾股定理，体会数形结合的证明方法。
本文章目录
01 · 出发点
从“勾股定理的证明”中的对象与问题出发
建立直角三角形三边的数量关系，并利用逆定理判断直角。
具体到“勾股定理的证明”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。
02 · 概念
勾股定理的证明的定义、条件与表示
勾股定理可通过面积拼图证明：用若干个全等直角三角形拼成同一个大图形，以两种方式表示面积，整理后得到三边平方关系。证明的关键是拼图无缝且面积计算覆盖同一区域。
通过拼图、面积或代数恒等式说明勾股定理，体会数形结合的证明方法。
03 · 方法
构造直角三角形并核对斜边
- 01
从图形中找出直角三角形；若题目是空间展开或最短路径，先展开、作高或连接端点。
- 02
确定直角所对的斜边，把两直角边和斜边分别代入勾股关系或其逆定理。
- 03
完成平方运算后取符合长度意义的非负值，并结合单位与实际范围解释答案。
04 · 例题
把方法落到具体问题
四个全等直角三角形的直角边为 、斜边为 ，拼成边长 的正方形，中间留下边长 的正方形。写出面积关系并推出结论。
解
- 1
大正方形面积为 。
- 2
四个直角三角形与中间正方形面积之和为 。
- 3
令两种面积相等并展开：，两边减去 。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 通过拼图、面积或代数恒等式说明勾股定理，体会数形结合的证明方法。
- 两种面积表达式相等，是因为它们计算的是相同外边界内部的面积；只比较看起来相似的图形不能直接列等式。
- 得到 ，即勾股定理。