8.5
二元一次方程组的应用
在配套、行程、工程和费用等问题中设置两个未知数，建立方程组并解释解。
本文章目录
01 · 出发点
从“二元一次方程组的应用”中的对象与问题出发
用两个未知数表达数量关系，通过消元求出同时满足多个条件的解。
具体到“二元一次方程组的应用”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。
02 · 概念
二元一次方程组的应用的定义、条件与表示
两个未知量共同受两个等量关系约束时，可用二元一次方程组建模。设元后分别列出总数量关系和另一项总量关系，解出后要检查非负性、整数性及单位。
在配套、行程、工程和费用等问题中设置两个未知数，建立方程组并解释解。
03 · 方法
二元一次方程组的选元——消元——检验法
- 01
选择两个含义明确的未知量，根据两个独立等量关系列方程组。
- 02
某个未知数容易单独表示时用代入法，系数便于配成相同或相反数时用加减法。
- 03
消元得到一元方程后回代求另一未知数，并将有序结果代入两个原方程检验。
04 · 例题
把方法落到具体问题
笼中鸡和兔共二十只，共有五十六只脚。求鸡、兔各有多少只。
解
- 1
设鸡有 只，兔有 只，由头数得 。
- 2
按脚数列出 。
- 3
第二式除以二后减去第一式，得 ，再得 。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 在配套、行程、工程和费用等问题中设置两个未知数，建立方程组并解释解。
- 若第二个方程只是第一个方程的倍数，就没有增加新的约束，通常不能唯一确定两个未知量；建模时要确认两条关系彼此独立。
- 鸡有十二只，兔有八只；头数和脚数检验均相符。