24.10

切线的判定与性质

理解经过半径外端且垂直于半径的直线是切线，并掌握切线垂直于过切点半径。

约 11 分钟圆

本文章目录

01 · 出发点

从“切线的判定与性质”中的对象与问题出发

研究圆中点、线、角和弧的关系，并解决切线与度量问题。

具体到“切线的判定与性质”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

切线的判定与性质的定义、条件与表示

圆的切线与圆只有一个公共点。经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线又必垂直于过切点的半径。

理解经过半径外端且垂直于半径的直线是切线，并掌握切线垂直于过切点半径。

03 · 方法

连接圆心，把圆的问题化为三角形

01
先辨认圆心、半径、弦、弧、圆周角或切点，明确各对象所对应的弧与角。
02
适时连接圆心与端点、切点，或作圆心到弦和直线的垂线，构造等腰或直角三角形。
03
选用圆心角、垂径、圆周角或切线性质推导，再检查弧的范围和长度单位。

04 · 例题

把方法落到具体问题

点 $P$ 在圆外， $PT$ 切圆于点 $T$ 。已知 $OP=13\text{ cm}$ ，半径 $OT=5\text{ cm}$ ，求 $PT$ 。

解

1
切线垂直于过切点的半径，所以 $OT\perp PT$ 。
2
在直角三角形 $OPT$ 中， $PT^2=OP^2-OT^2$ 。
3
代入数据，得到 $PT=\sqrt{13^2-5^2}=12\text{ cm}$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

理解经过半径外端且垂直于半径的直线是切线，并掌握切线垂直于过切点半径。
证明一条直线是切线，常先确认半径端点位于该直线上，再证明直线与这条半径垂直。
切线段 $PT$ 的长度为 $12\text{ cm}$ 。