26.1

反比例函数的概念

认识反比例函数的解析式，理解自变量不为零及比例系数的意义。

约 11 分钟反比例函数

本文章目录

01 · 出发点

从“反比例函数的概念”中的对象与问题出发

研究乘积保持不变的两个变量，理解双曲线图象及其实际意义。

具体到“反比例函数的概念”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

反比例函数的概念的定义、条件与表示

若两个变量 $x,y$ 满足 $y=\frac{k}{x}$ ，其中 $k\ne0$ ，则 $y$ 是 $x$ 的反比例函数。它的等价特征是乘积 $xy=k$ 保持不变。

认识反比例函数的解析式，理解自变量不为零及比例系数的意义。

03 · 方法

抓住乘积不变与双曲线分支

01
先判断两个变量是否满足乘积为非零常数，再写成 $y=\frac{k}{x}$ 并记录实际取值范围。
02
利用图象上一点求比例系数，根据其符号判断图象所在象限和各分支的变化趋势。
03
通过代入、图象交点或乘积关系解决问题，结果要符合单位和现实边界。

04 · 例题

把方法落到具体问题

面积固定为 $24\text{ cm}^2$ 的长方形，宽为 $x\text{ cm}$ ，长为 $y\text{ cm}$ 。写出长关于宽的函数。

解

1
长方形面积等于长与宽的乘积，所以 $xy=24$ 。
2
把长单独表示，得到 $y=\dfrac{24}{x}$ 。
3
宽是实际长度，因此取值条件为 $x>0$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

认识反比例函数的解析式，理解自变量不为零及比例系数的意义。
分母中的自变量不能为零；实际问题还可能进一步限制为正数、整数或某个区间。
所求函数为 $y=\dfrac{24}{x}$ ，其中 $x>0$ 。