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数学探究的一般过程

经历提出问题、作出猜想、收集证据、建立模型、论证结论和反思改进的过程。

约 11 分钟综合与实践

本文章目录

01 · 出发点

从“数学探究的一般过程”中的对象与问题出发

综合代数、几何与统计方法，在真实问题中经历完整的数学探究过程。

具体到“数学探究的一般过程”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

数学探究的一般过程的定义、条件与表示

数学探究通常经历提出可检验的问题、观察实例、形成猜想、寻找证明或反例、修正结论和表达交流。若有限例子支持猜想，它们只是证据线索，完整结论仍需一般性论证。

经历提出问题、作出猜想、收集证据、建立模型、论证结论和反思改进的过程。

03 · 方法

问题、模型、证据、反思形成闭环

01
把真实主题收窄为可回答的数学问题，明确对象、变量、假设、评价标准和任务分工。
02
选择代数、几何或统计方法收集数据并建立模型，保留推理、计算和修正过程。
03
用实测、反例或另一种方法检验结论，说明适用范围、误差来源并清楚呈现成果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

观察前若干个正奇数的和，猜想前 $n$ 个正奇数之和，并给出论证思路。

解

1
计算 $1=1^2$ 、 $1+3=2^2$ 、 $1+3+5=3^2$ ，猜想和为 $n^2$ 。
2
把第 $n$ 个奇数 $2n-1$ 看成在边长 $n-1$ 的正方形外补的一条横边和一条竖边，再扣除重复角格。
3
新增方格数为 $2(n-1)+1=2n-1$ ，恰能把 $(n-1)^2$ 个方格扩成 $n^2$ 个方格。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

经历提出问题、作出猜想、收集证据、建立模型、论证结论和反思改进的过程。
猜想声称所有对象都具有某性质时，只需找到一个满足条件但不满足结论的对象，就能说明原猜想需要修改。
前 $n$ 个正奇数之和为 $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ 。