21.2

直接开平方法

把方程化为一个平方等于常数的形式，根据平方根意义求出两个、一个或没有实数解。

约 11 分钟一元二次方程

本文章目录

01 · 出发点

从“直接开平方法”中的对象与问题出发

研究最高次数为二次的一元方程，掌握多种解法及根的结构。

具体到“直接开平方法”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

直接开平方法的定义、条件与表示

若方程能够化成 $(x-h)^2=p$ ，可直接根据平方根意义求解。当 $p>0$ 时有两个实数解，当 $p=0$ 时有一个实数解，当 $p<0$ 时没有实数解。

把方程化为一个平方等于常数的形式，根据平方根意义求出两个、一个或没有实数解。

03 · 方法

先化一般形式，再选择解法

01
把方程整理为 $ax^2+bx+c=0$ ，先确认二次项系数不为零并辨认各项系数。
02
观察结构选择直接开平、因式分解或求根公式；实际问题还要先根据数量关系准确列方程。
03
把候选根代回原方程检验，并结合定义域、长度、时间等实际条件取舍。

04 · 例题

把方法落到具体问题

解方程 $(x-2)^2=9$ 。

解

1
方程已经是一个平方等于正数的形式，对两边直接开平方。
2
得到 $x-2=3$ 或 $x-2=-3$ 。
3
分别解两个一元一次方程，得到 $x=5$ 或 $x=-1$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

把方程化为一个平方等于常数的形式，根据平方根意义求出两个、一个或没有实数解。
由一个平方等于正数，应写成原式整体等于正、负两个平方根，不能只取算术平方根。
方程的两个解为 $x_1=5$ ， $x_2=-1$ 。