22.3

二次函数图象的变换

理解抛物线左右、上下平移的规律，并从基本图象得到顶点式函数图象。

约 11 分钟二次函数

本文章目录

01 · 出发点

从“二次函数图象的变换”中的对象与问题出发

研究抛物线的图象、性质和最值，连接函数与一元二次方程。

具体到“二次函数图象的变换”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

二次函数图象的变换的定义、条件与表示

顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 表明抛物线由 $y=ax^2$ 平移得到：水平方向由 $h$ 决定，竖直方向由 $k$ 决定，顶点为 $(h,k)$ 。

理解抛物线左右、上下平移的规律，并从基本图象得到顶点式函数图象。

03 · 方法

解析式、图象、范围相互印证

01
先确认二次项系数、实际定义域和问题所求，再选择一般式、顶点式或交点式观察函数。
02
从开口、对称轴、顶点和与坐标轴的交点描绘抛物线，必要时用配方完成形式转换。
03
利用图象的增减与最值回答问题，最后把结果限制在自变量的有效范围内。

04 · 例题

把方法落到具体问题

说明怎样由 $y=2x^2$ 得到 $y=2(x-3)^2+1$ ，并写出新顶点。

解

1
两个函数的二次项系数相同，开口方向和宽窄保持不变。
2
括号内为 $x-3$ ，图象向右平移 $3$ 个单位。
3
括号外再加 $1$ ，图象向上平移 $1$ 个单位。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

理解抛物线左右、上下平移的规律，并从基本图象得到顶点式函数图象。
括号写成 $x-h$ 时向右平移；写成 $x+h$ 时可看成 $x-(-h)$ ，因此向左平移。
先向右平移 $3$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，新顶点为 $(3,1)$ 。