黄金分割

理解黄金分割点使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，并解决简单比例问题。

约 11 分钟图形的相似

本文章目录

01 · 出发点

从“黄金分割”中的对象与问题出发

用比例刻画形状相同、大小可变的图形，研究相似三角形及位似。

具体到“黄金分割”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

点 $C$ 把线段 $AB$ 分成较长部分 $AC$ 和较短部分 $BC$ 。若较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，点 $C$ 是黄金分割点，这个比称为黄金比。

理解黄金分割点使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，并解决简单比例问题。

03 · 方法

04 · 例题

线段 $AB=10\text{ cm}$ ，点 $C$ 是靠近点 $B$ 的黄金分割点，且 $AC>BC$ 。求 $AC$ 与 $BC$ 的长度。

解

1
黄金比为 $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ ，所以 $AC=10\cdot\dfrac{\sqrt5-1}{2}=5(\sqrt5-1)\text{ cm}$ 。
2
取近似值得 $AC\approx6.18\text{ cm}$ ，确实是较长部分。
3
用全长减去较长部分，得到 $BC=10-AC=5(3-\sqrt5)\text{ cm}\approx3.82\text{ cm}$ 。

05 · 辨析

回看

理解黄金分割点使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，并解决简单比例问题。
黄金比通常取较长部分与全长的比，其值小于一；若把全长与较长部分相比，会得到它的倒数。
较长部分 $AC=5(\sqrt5-1)\text{ cm}\approx6.18\text{ cm}$ ，较短部分 $BC=5(3-\sqrt5)\text{ cm}\approx3.82\text{ cm}$ 。