11.4

三角形内角和

通过平行线或拼接方法说明三角形内角和，并解决角度计算问题。

约 11 分钟三角形

本文章目录

01 · 出发点

从“三角形内角和”中的对象与问题出发

从边、角和重要线段研究三角形，并推广到多边形的角度关系。

具体到“三角形内角和”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

三角形内角和的定义、条件与表示

任意三角形三个内角的和为 $180^\circ$ 。已知两个内角可求第三个内角；含字母的角度问题则通过角和列一元一次方程。

通过平行线或拼接方法说明三角形内角和，并解决角度计算问题。

03 · 方法

从图形语言到角边关系

01
先按题意画出或补全三角形，标清顶点顺序、内外角以及高、中线等已知对象。
02
把图形条件翻译成边长或角度关系，再选择三边关系、内角和、外角性质或多边形角和。
03
列出等式或不等式完成计算，并回到图形检查角度范围、线段位置和结论是否合理。

04 · 例题

把方法落到具体问题

三角形三个内角之比为 $2:3:4$ ，求三个内角。

解

1
设每一份为 $x^\circ$ ，三个角分别为 $2x^\circ,3x^\circ,4x^\circ$ 。
2
由内角和列式 $2x+3x+4x=180$ ，解得 $x=20$ 。
3
把 $x=20$ 分别代回三个角。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

通过平行线或拼接方法说明三角形内角和，并解决角度计算问题。
三角形每个内角都大于 $0^\circ$ 且小于 $180^\circ$ ，三个内角中至多有一个直角或钝角。
三个内角依次为 $40^\circ,60^\circ,80^\circ$ 。