22.7

用二次函数图象求方程近似解

通过列表、描点和局部放大估计抛物线与横轴交点的横坐标，得到一元二次方程的近似解。

约 11 分钟二次函数

本文章目录

01 · 出发点

从“用二次函数图象求方程近似解”中的对象与问题出发

研究抛物线的图象、性质和最值，连接函数与一元二次方程。

具体到“用二次函数图象求方程近似解”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

用二次函数图象求方程近似解的定义、条件与表示

当一元二次方程难以得到简洁的精确根时，可把方程左边看作二次函数的函数值，通过列表、描点和局部放大寻找抛物线与横轴的交点。交点横坐标就是方程的近似解。

通过列表、描点和局部放大估计抛物线与横轴交点的横坐标，得到一元二次方程的近似解。

03 · 方法

解析式、图象、范围相互印证

01
先确认二次项系数、实际定义域和问题所求，再选择一般式、顶点式或交点式观察函数。
02
从开口、对称轴、顶点和与坐标轴的交点描绘抛物线，必要时用配方完成形式转换。
03
利用图象的增减与最值回答问题，最后把结果限制在自变量的有效范围内。

04 · 例题

把方法落到具体问题

利用函数 $y=x^2-2$ 的图象，估计方程 $x^2-2=0$ 的正根，精确到百分位。

解

1
计算得到 $y(1.4)=-0.04$ 、 $y(1.5)=0.25$ ，所以正根在 $1.4$ 与 $1.5$ 之间。
2
局部放大并继续计算，得到 $y(1.414)=-0.000604$ 、 $y(1.415)=0.002225$ 。
3
交点横坐标位于 $1.414$ 与 $1.415$ 之间，按百分位取近似值。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

通过列表、描点和局部放大估计抛物线与横轴交点的横坐标，得到一元二次方程的近似解。
若抛物线在两个相邻横坐标处的函数值异号，交点位于两者之间。继续细分区间，直到区间宽度足以支持要求的近似精度。
方程的正根约为 $1.41$ ；图象关于纵轴对称，另一个根约为 $-1.41$ 。