22.4

一般二次函数的图象与性质

由解析式确定抛物线的开口、对称轴、顶点、增减区间和最大值或最小值。

约 11 分钟二次函数

本文章目录

01 · 出发点

从“一般二次函数的图象与性质”中的对象与问题出发

研究抛物线的图象、性质和最值，连接函数与一元二次方程。

具体到“一般二次函数的图象与性质”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

一般二次函数的图象与性质的定义、条件与表示

一般二次函数可通过配方化为顶点式，从而读出开口、对称轴、顶点和最值。图象关于对称轴成轴对称，并在对称轴两侧呈相反的增减趋势。

由解析式确定抛物线的开口、对称轴、顶点、增减区间和最大值或最小值。

03 · 方法

解析式、图象、范围相互印证

01
先确认二次项系数、实际定义域和问题所求，再选择一般式、顶点式或交点式观察函数。
02
从开口、对称轴、顶点和与坐标轴的交点描绘抛物线，必要时用配方完成形式转换。
03
利用图象的增减与最值回答问题，最后把结果限制在自变量的有效范围内。

04 · 例题

把方法落到具体问题

求函数 $y=x^2-4x+3$ 的顶点、对称轴和最小值。

解

1
配方得到 $y=(x-2)^2-1$ 。
2
由顶点式读出顶点 $(2,-1)$ ，对称轴为 $x=2$ 。
3
二次项系数为正，平方项最小为零，所以函数最小值为 $-1$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

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本节小结

由解析式确定抛物线的开口、对称轴、顶点、增减区间和最大值或最小值。
不能笼统地说整条抛物线递增或递减，应以对称轴为界分别描述；开口方向不同，两侧趋势也随之交换。
顶点为 $(2,-1)$ ，对称轴为 $x=2$ ，当 $x=2$ 时取得最小值 $-1$ 。