5.7

定义、命题、定理与推论

区分定义与命题，辨认命题的条件和结论，理解定理、推论、反例及证明的基本格式。

约 11 分钟相交线与平行线

本文章目录

01 · 出发点

从“定义、命题、定理与推论”中的对象与问题出发

研究平面内直线的位置关系，用角的关系判定和证明平行。

具体到“定义、命题、定理与推论”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

定义、命题、定理与推论的定义、条件与表示

定义约定术语或对象的含义，本身不作真假判断；命题是可以判断真假的陈述句，由条件和结论组成。经过证明并作为推理依据的重要真命题叫定理，由定理直接得到的进一步结论叫推论。

区分定义与命题，辨认命题的条件和结论，理解定理、推论、反例及证明的基本格式。

03 · 方法

线角关系的条件——结论双向链

01
识别截线以及同位角、内错角、同旁内角的位置关系。
02
判定平行时由角的关系推出直线关系；使用性质时由直线平行推出角的关系。
03
证明中逐句写出依据，复杂图形可添加辅助线，把目标转化为已知角关系。

04 · 例题

把方法落到具体问题

两条直线相交形成四个角，已知 $\angle1=68^\circ$ ， $\angle1$ 与 $\angle3$ 的两边分别互为反向延长线。说明所用定义和定理，并求另外三个角。

解

1
由对顶角的定义， $\angle1$ 与 $\angle3$ 是对顶角。
2
引用“对顶角相等”这一定理，得到 $\angle3=68^\circ$ 。
3
由邻补角关系及对顶角定理，可直接推出其余两个角都为 $180^\circ-68^\circ=112^\circ$ ；这是上述结论在本图中的直接推论。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

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本节小结

区分定义与命题，辨认命题的条件和结论，理解定理、推论、反例及证明的基本格式。
先用定义确认对象满足什么条件，再引用基本事实、定理或推论推出结论。证明真命题要写出完整依据；否定全称命题只需给出一个满足条件而结论不成立的反例。
一组对顶角均为 $68^\circ$ ，另一组对顶角均为 $112^\circ$ 。