16.2

二次根式的性质与化简

理解二次根式的基本性质，把被开方数中的完全平方因数移到根号外。

约 11 分钟二次根式

本文章目录

01 · 出发点

从“二次根式的性质与化简”中的对象与问题出发

理解二次根式的意义和性质，完成化简、运算及实际应用。

具体到“二次根式的性质与化简”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

二次根式的性质与化简的定义、条件与表示

算术平方根满足 $(\sqrt a)^2=a$ ，而 $\sqrt{a^2}=|a|$ 。化简根式时把被开方数分解为完全平方因数与其余因数的积，再把完全平方因数开方移出根号。

理解二次根式的基本性质，把被开方数中的完全平方因数移到根号外。

03 · 方法

条件、化简、合并依次处理

01
先由被开方数非负确定取值范围，再判断根式是否能提取完全平方因数。
02
乘除时使用根式法则并同步核对条件，加减时先化为最简二次根式再找同类根式。
03
混合运算遵守运算顺序，适时使用乘法公式，最后检查分母和被开方数是否合法。

04 · 例题

把方法落到具体问题

化简 $\sqrt{72}$ 。

解

1
分解被开方数： $72=36\times2$ 。
2
利用积的算术平方根，得到 $\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt2$ 。
3
计算 $\sqrt{36}=6$ ，所以结果为 $6\sqrt2$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

理解二次根式的基本性质，把被开方数中的完全平方因数移到根号外。
被开方数不含能开尽方的因数或因式，且分母中不含根号；化简不能改变原式的定义域。
$\sqrt{72}=6\sqrt2$ 。