5.2
垂线与距离
理解垂直、垂线段和点到直线的距离，掌握过一点作已知直线垂线的唯一性及垂线段最短。
本文章目录
01 · 出发点
从“垂线与距离”中的对象与问题出发
研究平面内直线的位置关系，用角的关系判定和证明平行。
具体到“垂线与距离”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。
02 · 概念
垂线与距离的定义、条件与表示
两条直线相交成直角时互相垂直。在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，这一点可以在直线上，也可以在直线外。从直线外一点到已知直线的垂线段最短，其长度就是点到直线的距离。
理解垂直、垂线段和点到直线的距离，掌握过一点作已知直线垂线的唯一性及垂线段最短。
03 · 方法
线角关系的条件——结论双向链
- 01
识别截线以及同位角、内错角、同旁内角的位置关系。
- 02
判定平行时由角的关系推出直线关系；使用性质时由直线平行推出角的关系。
- 03
证明中逐句写出依据，复杂图形可添加辅助线，把目标转化为已知角关系。
04 · 例题
把方法落到具体问题
点 在直线 外，过点 作 ，垂足为 ，且 。还能否过 作另一条不同的垂线？点 到 的距离是多少？
解
- 1
经过点 存在一条直线垂直于 ，题中已作出的直线 满足这一条件。
- 2
由过一点作已知直线垂线的唯一性，不存在另一条经过 且不同于 的垂线。
- 3
点到直线的距离取唯一垂线段的长度，因此 。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 理解垂直、垂线段和点到直线的距离，掌握过一点作已知直线垂线的唯一性及垂线段最短。
- “可以作出”说明垂线存在，“只能作一条”说明垂线唯一。垂线段是几何对象，点到直线的距离则是这条垂线段的长度数值。
- 过点 的垂线唯一，点 到直线 的距离为 。