25.3

列举法、列表与树状图

通过直接列举、列表和树状图不重不漏地写出多步骤随机试验的所有结果。

约 11 分钟概率初步

本文章目录

01 · 出发点

从“列举法、列表与树状图”中的对象与问题出发

区分随机与确定现象，用列举和试验频率刻画事件发生的可能性。

具体到“列举法、列表与树状图”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

列举法、列表与树状图的定义、条件与表示

多步骤随机试验要按步骤列出所有结果。直接列举适合结果较少的情形，列表适合两个对象组合，树状图能清楚呈现连续选择及每条完整路径。

通过直接列举、列表和树状图不重不漏地写出多步骤随机试验的所有结果。

03 · 方法

列清样本空间，再计算或估计

01
先明确一次随机试验、事件和所有可能结果，判断结果是否等可能。
02
结果有限且等可能时用列举、列表或树状图计数；不便理论计算时设计重复试验记录频率。
03
把概率解释回具体事件，并从长期趋势、样本量和规则对称性评价结论。

04 · 例题

把方法落到具体问题

连续抛一枚质地均匀的硬币两次，求恰好一次正面朝上的概率。

解

1
按先后顺序列出全部结果： $\{\text{正正},\text{正反},\text{反正},\text{反反}\}$ 。
2
四个结果等可能，恰好一次正面的结果是 $\text{正反}$ 与 $\text{反正}$ 。
3
有利结果数为 $2$ ，所有结果数为 $4$ ，所以概率为 $\dfrac24$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

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本节小结

通过直接列举、列表和树状图不重不漏地写出多步骤随机试验的所有结果。
树状图每一层对应一步试验，从根到末端的一条路径才表示一个完整结果；同一层分支不能与另一层结果混计。
恰好一次正面朝上的概率为 $\dfrac12$ 。