22.2

二次函数的基本图象

通过描点认识抛物线，根据二次项系数的符号和绝对值判断开口方向与宽窄。

约 11 分钟二次函数

本文章目录

01 · 出发点

从“二次函数的基本图象”中的对象与问题出发

研究抛物线的图象、性质和最值，连接函数与一元二次方程。

具体到“二次函数的基本图象”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

二次函数的基本图象的定义、条件与表示

函数 $y=ax^2$ 的图象是以纵轴为对称轴、原点为顶点的抛物线。 $a$ 的符号决定开口方向， $|a|$ 越大，抛物线越靠近对称轴。

通过描点认识抛物线，根据二次项系数的符号和绝对值判断开口方向与宽窄。

03 · 方法

解析式、图象、范围相互印证

01
先确认二次项系数、实际定义域和问题所求，再选择一般式、顶点式或交点式观察函数。
02
从开口、对称轴、顶点和与坐标轴的交点描绘抛物线，必要时用配方完成形式转换。
03
利用图象的增减与最值回答问题，最后把结果限制在自变量的有效范围内。

04 · 例题

把方法落到具体问题

说明函数 $y=-2x^2$ 的开口、顶点和对称轴，并求横坐标为 $1$ 时的点。

解

1
二次项系数 $-2<0$ ，所以抛物线开口向下。
2
基本形式没有平移，顶点为 $(0,0)$ ，对称轴为 $x=0$ 。
3
代入 $x=1$ ，得到 $y=-2$ ，对应点为 $(1,-2)$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

通过描点认识抛物线，根据二次项系数的符号和绝对值判断开口方向与宽窄。
因为 $x$ 与 $-x$ 对应相同函数值，可选取关于零对称的横坐标来检查图象的轴对称性。
图象开口向下，顶点在原点，对称轴是纵轴，并经过点 $(1,-2)$ 。