21.3

因式分解法

把一元二次方程一边化为零、另一边分解成两个因式之积，再利用零乘积性质求根。

约 11 分钟一元二次方程

本文章目录

01 · 出发点

从“因式分解法”中的对象与问题出发

研究最高次数为二次的一元方程，掌握多种解法及根的结构。

具体到“因式分解法”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

因式分解法的定义、条件与表示

因式分解法先把方程整理为一边是零，再把另一边分解成若干因式的乘积。由零乘积性质，乘积为零时至少有一个因式为零。

把一元二次方程一边化为零、另一边分解成两个因式之积，再利用零乘积性质求根。

03 · 方法

先化一般形式，再选择解法

01
把方程整理为 $ax^2+bx+c=0$ ，先确认二次项系数不为零并辨认各项系数。
02
观察结构选择直接开平、因式分解或求根公式；实际问题还要先根据数量关系准确列方程。
03
把候选根代回原方程检验，并结合定义域、长度、时间等实际条件取舍。

04 · 例题

把方法落到具体问题

解方程 $x^2-5x+6=0$ 。

解

1
寻找两个数，使它们的积为 $6$ 、和为 $-5$ ，得到 $-2$ 与 $-3$ 。
2
把左边分解为 $(x-2)(x-3)=0$ 。
3
由零乘积性质，得到 $x-2=0$ 或 $x-3=0$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

把一元二次方程一边化为零、另一边分解成两个因式之积，再利用零乘积性质求根。
只有等式一边已经是零，才能令各因式分别为零；若乘积等于非零常数，不能这样拆分。
方程的解为 $x_1=2$ ， $x_2=3$ 。